設A是V的線性變換性質(zhì)是

（1）設A是V的線性變換，則A(0)=0,A(-α)=-A(α)；[2]

（2）線性變換保持線性組合與線性關系式不變；

（3）線性變換把線性相關的向量組變成線性相關的向量組。

注意：線性變換可能把線性無關的向量組變成線性相關的向量組。

關于線性變換和特征值的理解[3]

首先我們來看這樣一個事實。一個二維的直角坐標系XOY，然后逆時針方向旋轉(zhuǎn)了?角變?yōu)閄’OY’后，考察會發(fā)現(xiàn)XOY和 X’OY’的坐標系之間存在這樣的轉(zhuǎn)化關系。就是說在XOY坐標系下的某一個點在X’OY’坐標系下的坐標變了 。那么我們同樣來考察一下這兩個坐標系下的基坐標。就是來考察在XOY坐標系下的基坐標 (1,0)和(0,1)在新的坐標系X’OY’下的 基坐標下的投影大小用(1,0)和(0,1)來表示為這樣的。注意，這里的矩陣的排列是前面兩個基坐標系數(shù)方程的轉(zhuǎn)置矩陣，之所以寫為轉(zhuǎn)置矩陣是因為我們習慣這樣來寫基坐標的線性變換A =( , ) 。我們可以看到這樣的旋轉(zhuǎn)變換的目的就是把坐標系旋轉(zhuǎn)后來看一下。這樣的旋轉(zhuǎn)角度一旦確定以后，我們就能夠得到原來的老坐標下的坐標點在新坐標系下的坐標為 。注意的是，這里的坐標是右乘變換矩陣。

線性變換數(shù)學定義在一般的高等代數(shù)學書中都可以找到。A(a+b)=Aa+Ab,Aka=kAa。其中a，b是V中的線性空間。這個定義就是說把空間中的元素（特殊地想為三維空間的向量）經(jīng)過一個變換，而這種變換是具有線性的特性的。那么這種變換的從一個元素轉(zhuǎn)變到另外一個元素的對應關系，我們可以用前面的一個矩陣來表示，稱為線性變換矩陣。